Monte Carlo Simulation for Statistical Physics

Monte Carlo Simulation for Statistical Physics
Paul Coddington
Northeast Parallel Architectures Center at Syracuse University

http://www.npac.syr.edu.sixxs.org/users/paulc/lectures/montecarlo/p_montecarlo.html

开普勒传奇的一生

开普勒传奇的一生

开普勒是现代天文学的奠基者，尽管一生波折，他所提出的行星运动三大定律，影响深远，促成牛顿导出万有引力理论。

林文隆 台湾师范大学物理系退休教授

2009年是伽利略使用望远镜观测星空400周年，联合国教科文组织将这一年定为全球天文年。话说1608年，一位荷兰人无意中发明放大倍率5 倍的望远镜，消息传到了意大利，在1609 年，伽利略根据他光学方面的知识，自行制造出放大倍率高达20 倍的望远镜。就在这一年，他首先使用望远镜观测星空，之后不到两年间，陆续有许多惊人的发现：他把望远镜指向月球，发现月球表面坑坑洞洞；指向银河，发现它是由许多星球组成的；指向木星，发现有四颗卫星围着它旋转；指向太阳，发现了太阳黑子。
1609 年对天文学而言，是值得大书特书的一年，除了伽利略首先用望远镜观测星空外，德国天文学家开普勒也在这一年出版《新天文学》，十年后出版《宇宙的和谐》，前后提出行星运动三大定律，促成数十年后，牛顿导出万有引力理论。伽利略和开普勒两人被公认是现代天文学的奠基者。趁纪念全球天文年之便，本文为读者介绍有关开普勒的生平及他对天文学的贡献。

早年及求学过程

1571 年开普勒出生在德国韦尔。父亲是位个性粗鄙的职业佣兵，曾数次离家外出作战。有一回离家出走，从此再也没回来，据说是参与战役后，死于回家途中。因此，开普勒从小由母亲一手带大。也许是受父亲的影响，母亲性情相当古怪。她是小酒馆老板的女儿，除了看顾酒馆，也常采集药草为人治病。据信她也会施展巫术，后来还差一点为此丧命。
开普勒三岁时染上天花，导致双手手指受创，视力受损。虽然他身体不好，但小小年纪，就要在母亲经营的小酒馆餐桌旁服务。尽管童年充满痛苦和忧虑，但他天资聪颖，获得奖学金就读德语写作学校，后转入拉丁语学校。1589 年他获得一笔奖学金，进入杜宾根大学研读神学和数学。在当时，天文学被视为数学的一部分。
从著名天文教授马斯特林（ Michael Mastlin）那里，开普勒接触到哥白尼的日心宇宙系统。在当时，教会奉行的是托勒密（Ptolemaeus ）在第二世纪提出的宇宙系统，即地心说：地球是宇宙的中心，太阳及所有行星均绕着地球旋转。哥白尼则认为太阳是宇宙的中心，地球及当时所知的另外五颗行星，都绕着太阳转动。开普勒很快就相信哥白尼的宇宙系统，并成为它的拥护者。


初试啼声：神秘的宇宙


开普勒是虔诚的基督徒，立志当牧师。他毕业时，刚好奥地利格拉兹新教神学院需要数学教师，于是天文教授马斯特林推荐他去任教，因而改变了他的一生。
在格拉兹任教时，开普勒开始致力于对宇宙的了解，因为他认为了解上帝所创造的宇宙，是基督徒的职责。为此他花许多功夫钻研希腊的几何学。在哥白尼的宇宙系统下，他开始思索为什么刚刚好只有六颗行星？什么决定行星轨道间的距离？他秉持「上帝设计宇宙时，必定要用到几何」这个信念，来寻找问题的答案。首先他从二维的平面图形出发，发现一个等边三角形的外接圆半径与内切圆半径之比，约等于土星和木星轨道之比。可是，当他尝试用类似的方法寻找火星及其他行星的轨道时，却得不到正确的答案。于是，他接着考虑三维立体图形来解决这个问题。古希腊时期已熟知五种正多面体：正四面体、正六面体（即立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。五者统称柏拉图正多面体（图一）。
图一：五种柏拉图正多面体
希腊人认为宇宙物质由四个基本元素构成：土、水、空气及火。柏拉图认为每种基本元素都对应一种基本粒子，并可用一种柏拉图正多面体来代表：土对应立方体、火对应正四面体、空气对应正八面体、水对应正二十面体。多出来的正十二面体，是唯一由五边形构成的正多面体，具有奇特的数学性质，而五边形和黄金比例密切相关，因此柏拉图认为正十二面体对应的是宇宙整体。
与柏拉图不同的是，开普勒想要建立柏拉图正多面体和行星轨道之间的关联。他将自己研究所得的宇宙模型写成《宇宙的奥秘》这本书，于1597 年出版。对于为什么宇宙只有六颗行星（当时，连地球在内只知道六颗），理由很简单，因为从五个正多面体的外接和内切，只能画出六个天球作为行星轨道。根据他所建构的宇宙模型，这五个正多面体排列的次序由外而内，依序是正六、四、十二、二十及正八面体，而行星的轨道距离也由这宇宙模型中，六个天球的大小所决定，而行星之外更远处，则是众星所在的天球。
图二是开普勒宇宙模型示意图。开普勒的宇宙模型最惊人之处，在于他用数学来解释观测到的宇宙。以前的天文学家仅止于记录观测到的行星位置，但开普勒则进一步寻求可以解释观测现象的数学模型。这是科学方法很重要的过程。当然，我们今天都知道这个模型是错的，行星不只有六颗，其得出的轨道距离也只是近似而已。近代天文学家兼科学史专家O w e n Gingerich 曾说 ”在历史上，很少有一本内容错误的书，能在未来科学的发展进程上，产生这么大的影响力。” 《宇宙的奥秘》是自哥白尼的《天体运行论》后，第一本关于哥白尼日心系统的重要著作。开普勒将此书寄给伽利略和丹麦天文学家第谷（ Tycho），伽利略对此书并无热烈反应，第谷则被它所吸引，也间接促成日后两人的合作。



图二：普勒宇宙模型示意图。


与火星的战争

1600 年，开普勒的路德派新教信仰，无法见容于当时身为天主教徒的大公，被迫必须离开格拉兹。他动身前往捷克布拉格担任第谷的助理。第谷是当代（望远镜发明之前）最伟大的裸眼天文观测家，他拥有丰富的天文观测资料。第谷指派开普勒研究分析火星运行轨道。起初，开普勒以为自己可以在八天内解决这个问题，没想到，这工作远比他想象的困难许多。他传神地形容这为「与火星的战争」。
开普勒凭借着惊人的毅力，足足花了八年多的时间，才发现行星绕太阳运转的轨道是椭圆的。这是非常惊人的发现，一千多年来大家一直相信，上帝创造宇宙时，必然会使用完美无缺的圆形轨道。开普勒这项发现相当不容易。事实上，行星的轨道是很接近圆的椭圆，离心率很小。最初开普勒用圆来计算火星轨道时，发现数据中仅少数几个点有微小偏差，偏差值约为满月角直径的四分之一而已。一般人很可能将它归因于为观测误差而一笔带过。然而，开普勒对第谷观测的精确性，丝毫没有怀疑。再加上他个人的坚持，终于发现行星绕日运动的轨道是椭圆，而且在近日点的轨道速度较远日点来得快。
1609 年，也就是伽利略用望远镜指向天空的那一年，开普勒出版《新天文学》，内容包括「开普勒行星运动三大定律」的前两条；第一定律（椭圆定律）：行星绕太阳运转的轨道为一椭圆，太阳在此椭圆其中一个焦点上；第二定律（面积定律）：行星和太阳连起来的直线在相同时间内扫瞄出相同的面积。开普勒的创见，可说是媲美同年伽利略的成就，共同开启新的天文学时代。
宇宙的和谐

开普勒停留在布拉格的时期，是他在天文和数学研究上最多产的时光。数学上他发现特殊的星形正多面体、发现费波那奇（Fibonacci）序列的收敛性质和黄金比例的关系、地砖的镶嵌问题等。此外，他也于1604 年观察到一颗超新星，被后人称为「开普勒超新星」，这项发现有助于日后天文学家对星球演化的了解。
但安稳平静的生活，却在1611 年划下了休止符。心爱的儿子和妻子先后染上传染病过逝，加上新皇帝无法容忍新教徒，开普勒再次因宗教纷争，被迫离开工作，来到今日奥地利的林兹（Linz）。他此时期主要的工作是致力于各种宇宙和谐现象的探讨，他相信各种和谐现象，包括音乐的和谐、行星运动的和谐等，都可用数学表示。他将研究心得写成《宇宙的和谐》一书，于1619 年正式出版。就在此书快要完成付梓之前，他才获得灵感，得出「行星运动第三定律」（周期定律）：所有行星周期的平方，与其椭圆轨道半主轴的三次方成正比。《宇宙的和谐》一书计有五卷，第三定律只占第五卷一小段，却是整本著作最重要的部分，因为他的见解促成后来牛顿发现万有引力。
《宇宙的和谐》涵盖开普勒毕生研究的精华，他相信自己发现了上帝设计宇宙的逻辑，而无法抑制内心的狂喜。此书第五卷的序言说：「总之书是写成了，骰子已经掷下去了，人们是现在读它，还是将来后代子孙读它，这都无关紧要。既然上帝为了他的研究者已经等了六千年，那就让它为读者等上一百年吧！」结果此书促成66 年后牛顿发表那举世闻名的万有引力理论。

图三：开普勒所编《鲁道夫星表》之卷首插图。
我们现在把时间拉回到1600 年，那一年开普勒迁居布拉格担任第谷的助手。来年，第谷因病去世，开普勒接棒成为鲁道夫二世的皇家数学家。他用了些心机，才得到第谷所留下大量观测数据的控制权。由于经常分心到许多宇宙问题的研究，直到1627 年才整理完成并出版《鲁道夫星表》。这个目录表记载一千多颗星球及已知行星的位置和方向，是那个时代最完整精确的星球目录。图三系该星表之卷首插图。

典型在夙昔

开普勒和伽利略，无疑都是现代天文学的奠基者。表一列出开普勒在天文学方面的著作及其主要内容。很难想象这么伟大的天文学家及数学家，却一生饱受苦难。出身贫寒，在三岁时染上天
花，导致手指受创，视力受损。年幼时，父亲随雇佣军外出作战，而一去不回。年长后，由于宗教纷争及政治动荡不安，多次被迫离开工作迁居他处。遭受丧子之痛，心灵饱受折磨。年老时，母亲被控施展巫术，他不得不挺身而出为母亲辩护，免受火刑之苦。在如此艰难的环境下，他始终怀着无限的热诚去探讨宇宙的奥秘。根据第谷的观测资料计算行星的轨道，他花八年多的时间得到行星运动第一及第二定律；再花十年时间，发现第三定律，这需要多么大的毅力和决心！ 1630 年， 58 岁的开普勒在经济上又陷入困境，于是启程前往德国里根斯堡，希望要回一些欠款，沿途饥寒交迫，刚到那里便生病发高烧，随即病逝。
每当笔者回顾开普勒的一生，脑海中总会浮现一个智慧老人，奔波于风雪交加旅途中的景象。他一生追求宇宙和谐的奥秘，然实际生活却充满波折。开普勒自己写的墓志铭：「我曾测天高，今欲量地深。我的灵魂来自上天，凡俗肉体归于此地。」这是何等的胸怀！其心灵已达到天人合一的境界。谨以此文纪念2009 全球天文年。